antecedentes historicos

los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: $\sqrt{2}, \pi$ .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

DESIGUALDADES

En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

SIMBOLOS MATEMATICOS

Genéricos

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$=$	igualdad	igual a	todos
	`x` = `y` significa: `x` y `y` son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente.
	1 + 2 = 6 − 3
$:=$ $\equiv$ $:\Leftrightarrow$	definición	se define como	todos
	`x` := `y` o `x` ≡ `y` significa: `x` se define como otro nombre para `y` (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia) `P` :⇔ `Q` significa: `P` se define como lógicamente equivalente a `Q`
	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A $\lor$ B) $\land$ ¬(A $\land$ B)

Aritmética

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$+$	adición	más	aritmética
	4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.
	43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
$-$	substracción	menos	aritmética
	9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.
	87 − 36 = 51
$\times$ $\cdot$ $*$	multiplicación	por	aritmética
	7 x 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.
	4 x 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24
$\div$ $/$ $:$	división	entre	aritmética
	${42 \over 6} = 7$ significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.
	$24 / 6 = 4$
$\Sigma$	sumatoria	suma sobre ... desde ... hasta ... de	aritmética
	∑_k=1ⁿ a_k significa: a₁ + a₂ + ... + a_n
	∑_k=1⁴ k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
$\prod$	productorio	producto sobre... desde ... hasta ... de	aritmética
	∏_k=1ⁿ a_k significa: a₁a₂···a_n
	∏_k=1⁴ (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Funciones

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
( ) [ ] { }	aplicación de función; agrupamiento	de	funciones
	para aplicación de función: `f`(`x`) significa: el valor de la función `f` sobre el elemento `x` para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis.
	Si `f`(`x`) := `x`², entonces `f`(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4
f:X→Y	mapeo funcional	de ... a	funciones
	`f`: `X` → `Y` significa: la función `f` mapea el conjunto `X` al conjunto `Y`
	Considérese la función `f`: Z → N definida por `f`(`x`) = `x`²

Números

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
N	números naturales	N	números
	N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención diferente.
	{\|a\| : a ∈ Z} = N
Z	números enteros	Z	números
	Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}
	{a : \|a\| ∈ N} = Z
Q	números racionales	Q	números
	Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}
	3.14 ∈ Q; π ∉ Q
R	números reales	R	números
	R significa: {lim_n→∞ a_n : ∀ n ∈ N: `a`_n ∈ Q, el límite existe}
	π ∈ R; √(−1) ∉ R
C	números complejos	C	números
	C significa: {a + bi : a, b ∈ R}
	i = √(−1) ∈ C
√	raíz cuadrada	la raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de	números reales
	√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x
	√(x²) = \|x\|
∞	infinito	infinito	números
	∞ es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los números reales; ocurre frecuentemente en límites
	lim_x→0 1/\|x\| = ∞
\| \|	valor absoluto	valor absoluto de	números
	\|`x`\| significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo) entre `x` y zero
	\|a + bi \| = √(a² + b²)

Órdenes parciales

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
< >	comparación	es menor a, es mayor a	órdenes parciales
	`x` < `y` significa: `x` es menor a `y`; x > y significa: x es mayor a y
	3 > 4 5 > 4

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
≤ ≥	comparación	es menor o igual a, es mayor o igual a	órdenes parciales
	`x` ≤ `y` significa: `x` es menor o igual a `y`; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y
	x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

Geometría euclídea

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
π	pi	pi	Geometría euclideana
	π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.
	A = πr² es el área de un círculo con radio r

Combinatoria

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
!	factorial	factorial	combinatoria
	n! es el producto 1×2×...×n
	4! = 24

Análisis funcional

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
\|\| \|\|	norma	norma de; longitud de	análisis funcional
	x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado
	x+y ≤ x + y

Cálculo

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
∫	integración	integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ...	cálculo
	∫_a^b f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de la función f entre `x` = a y `x` = b
	∫₀^b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3
f '	derivación	derivada de f; f prima	cálculo
	f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar.
	Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2
∇	gradiente	del, nabla, gradiente de	cálculo
	∇f (x₁, …, x_n) es el vector de derivadas parciales (df / dx₁, …, df / dx_n)
	Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)
∂	derivada parcial	derivada parcial de	cálculo
	Con f (x₁, …, x_n), ∂f/∂x_i es la derivada de f con respecto a x_i, con todas las otras variables mantenidas constantes.
	Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy

Ortogonalidad

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	perpendicular	es perpendicular a	ortogonalidad
	x ⊥ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

Álgebra matricial

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	perpendicular	traspuesta	matrices y vectores
	(a,b) con ⊥ al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.

Teoría de rejas

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	fondo	el elemento fondo	teoría de rejas
	x = ⊥ significa: x es el elemento más pequeño.

INTERVALOS

Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real $\R$ , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Notación

Intervalo abierto (a,b).

Intervalo cerrado [a,b].

Intervalo semiabierto [a,b).

Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

$(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a<x<b\}$

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

$[a,b]\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}$

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

$[a,b)\$ o bien $[a,b[\$ , notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a\le x<b\}$
$(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ , notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a<x\le b\}$

DOMINIO Y CONTRADOMINIO

El dominio de una función se define como el conjunto de todos los elementos de "x" para los cuales se encuentra definida la función. Por ejemplo, sea f(x)= 1/x, el dominio de la función son todos los números reales, excepto el cero, ya que 1/0 no existe.
Ahora, el rango, contradominio, imagen o codominio de una función, son todos los elementos a los cuales te manda la función cuando aplicas la regla de correspondencia. Por ejemplo, sea f(x)= x², el dominio son todos los #s reales, y el contradominio de f(x), son todos los reales positivos incluyendo al cero, porque para cualquier número "x", positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, siempre resultará un número positivo.

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

LIMITES DE UNA FUNCION

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

Propiedades generales

Límite de	Expresión
Una constante	$\lim_{x \to c} k =\, k\,$
La función identidad	$\lim_{x \to c} x = \, c \,$
El producto de una función y una constante	$\lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,$
Una suma	$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,$
Una resta	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un producto	$\lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un cociente	$\lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,$
Una potencia	${\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0$
Un logaritmo	${\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}$
El número e	${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal	${\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0$ .

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguiente propiedades:

Límite de Expresión

Una constante $\lim_{x \to c} k =\, k\,$

La función identidad $\lim_{x \to c} x = \, c \,$

El producto de una función y una constante $\lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,$

Una suma $\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,$

Una resta $\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,$

Un producto $\lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,$

Un cociente $\lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,$

Una potencia ${\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0$

Un logaritmo ${\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}$

El número e ${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$

Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal ${\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0$ .

La derivación de las funciones es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
Derivada de la función seno
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

Por tanto si f(x) = sin(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica $\sin(A+B)=(\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B))$ , se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}$

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Reordenando los términos y el límite se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

$f'(x)=\cos(x) \,$

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica $\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$ , se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}$

Operando se obtiene:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}$

Como sen(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

$f'(x)=-\sin(x) \,$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)\,$ , se puede escribir como

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

y $h(x) \ne 0\,$ , entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)\,$ es igual a:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

A partir de la identidad trigonométrica

$\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}$

haciendo:

$g(x)=\sin(x) \,$

$g'(x)=\cos(x) \,$

$h(x)=\cos(x) \,$

$h'(x)=-\sin(x) \,$

sustituyendo resulta

$f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}$

operando

$f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

y aplicando las identidades trigonométricas

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,$

$\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}\,$

resulta:

$f'(x)=\sec^2(x) \,$

Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función $\,y=\arcsin x$ , que también se puede expresar como $\,\sin y = x$ . Derivando implícitamente la segunda expresión:

$\,\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}\,$

Tenemos además que $\cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}\,$ , i que $\,x=\sin y$ . Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

$\,\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Ejemplo #1

$y=csc(x)cot(x)\,$

$y'=(-csc(x)csc^2(x))-cot(x)csc(x)cot(x)\,$

$y'=-csc(x)csc^2(x)-cot^2(x)csc(x)\,$

$y'=-csc^3(x)-cot^2(x)csc(x)\,$

Ejemplo #2

$y=3 sen(x) - 2 cos(x)\,$

$y'=3 \frac{d\,sen x}{dx} - 2 \frac{d\,cos x}{dx}$

$y'=3 cos (x) + 2 sen (x)\,$

Valeria Amador Brindiz 4 "A"

lunes, 4 de junio de 2012

Genéricos

Aritmética

Funciones

( )[ ]{ }

f:X→Y

Números

N

Z

Q

R

C

√

∞

| |

Órdenes parciales

<>

≤≥

Geometría euclídea

π

Combinatoria

!

Análisis funcional

|| ||

Cálculo

∫

f '

∇

∂

Ortogonalidad

⊥

Álgebra matricial

⊥

⊥

Intervalo abierto

Intervalo cerrado

Intervalo semiabierto

Clasificación de funciones

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

Funciones explícitas

Funciones implícitas

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Derivada de la función arcoseno

Ejemplo #1

Ejemplo #2

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